Алгебраическое доказательство:

 Пусть Т— прямоугольный треугольник с катетами а, b и гипотенузой с (рис. а). Докажем, что с²=а²+Ь².

Построим квадрат Q со стороной а+Ь (рис.б). На сторонах квадрата Q возьмем точки А, В, С, D так, чтобы отрезки АВ, ВС, CD, DA отсекали от квадрата Q прямоугольные треугольники Т₁, Т₂, Т₃, Т₄ с катетами а и b. Четырехугольник ABCD обозначим буквой Р. Покажем, что Р — квадрат со стороной с.

Все треугольники Т₁, Т₂, Т₃, Т₄  равны треугольнику Т (по двум катетам). Поэтому их гипотенузы равны гипотенузе треугольника Т, т. е. отрезку с. Докажем, что все углы этого четырехугольника прямые.

Пусть a и b— величины острых углов треугольника Т. Тогда, как вам известно, a+b= 90°. Угол при вершине B четырехугольника Р  вместе с углами, равными a и b, составляет развернутый угол. Поэтому a+b+g=180°. И так как a+b= 90°, то g=90°. Точно так же доказывается, что и остальные углы четырехугольника Р прямые. Следовательно, четырехугольник Р — квадрат со стороной с.

Квадрат Q со стороной а+Ь слагается из квадрата Р со стороной с и четырех треугольников, равных треугольнику Т. Поэтому для их площадей выполняется равенство S(Q)=S(P)+4S(T) .

Так как S(Q)=(a+b) ² ; S(P)=c² и S(T)=1/2(ab), то, подставляя эти выражения в S(Q)=S(P)+4S(T), получаем равенство

(a+b) ²=c²+4*(1/2)ab . Поскольку (a+b)²=a²+b²+2ab, то равенство (a+b)²=c²+4*(1/2)ab мож­но записать так: a²+b²+2ab=c²+2ab.

Из равенства a²+b²+2ab=c²+2ab следует, что с²=а²+Ь².

Теорема доказана.

Еще одно алгебраическое доказательство:

Пусть АВС — данный прямоугольный треугольник с прямым углом С. Проведем высоту CD из вершины прямого угла С.

По определению косинуса угла (Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе) соsА=AD/AC=AC/AB. Отсюда AB*AD=AC². Аналогично соsВ=BD/BC=BC/AB. Отсюда AB*BD=ВС². Складывая  равенства получим:

АС²+ВС²=АВ(AD + DB)=АВ². Теорема доказана.

Доказательство Евклида: